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Álgebra A 62
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
8.
b) Decidir si los puntos $A=(8,2,4), B=(4,2,8), C=(-2,0,1)$ y $D=(1,-1,3)$ son coplanares (están sobre un mismo plano) o no.
b) Decidir si los puntos $A=(8,2,4), B=(4,2,8), C=(-2,0,1)$ y $D=(1,-1,3)$ son coplanares (están sobre un mismo plano) o no.
Respuesta
Vamos a seguir una estrategia similar a la del ítem anterior 👉 Nos construimos el plano que contiene a los puntos $A$, $B$ y $C$, y después chequeamos si el punto $D$ verifica la ecuación de ese plano o no.
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Construimos la ecuación implícita del plano que pasa por los puntos A, B y C
Arrancamos construyendo dos vectores paralelos al plano restando los puntos. Yo voy a elegir hacer $B - A$ y $C - A$:
$\vec{v_1} = B - A = (4,2,8) - (8,2,4) = (-4,0,4)$
$\vec{v_2} = C - A = (-2,0,1) - (8,2,4) = (-10,-2,-3)$
Hacemos el producto vectorial entre estos dos vectores para obtener una normal al plano:
$N = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-4,0,4) \times (-10,-2,-3) = (8,-52,8)$.
Acordate que cualquier múltiplo de este vector también es normal al plano (tiene la misma dirección). Asi que esto es totalmente opcional, pero ya que me dí cuenta que todas las coordenadas son múltiplos de $4$, puedo usar también esta normal:
$N = (2,-13,2)$
La ecuación implícita empieza a tomar esta forma:
$2x - 13y + 2z = d$
Pidiendo que uno de los puntos, $A$, $B$ o $C$ (el que quieras) pertenezca al plano, obtenemos $d = -2$
La ecuación implícita del plano que pasa por $A$, $B$ y $C$ es entonces...
👉 $2x - 13y + 2z = -2$
Chequeamos si el punto D pertenece a este plano o no
Para eso, veamos si $D = (1,-1,3)$ cumple la ecuación del plano:
$2 \cdot 1 - 13 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 = -2$
$2 + 13 + 6 = -2$
$21 = -2$ ❌ Absurdo! El punto D no verifica la ecuación del plano.
Deducimos entonces que los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ no son coplanares (no están contenidos en un mismo plano)
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